Letzte Änderung: 10.11.2002

Mathematik-Hauptseite Mathe-Forum Drucken

Lösung quadratischer Gleichungen

mit Lösungsformel

Gegeben sei folgende quadratische Gleichung, wobei a, b und c reelle Zahlen sind (a nicht 0): 

ax² + bx + c = 0;

Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kann man folgende Lösungsformel herleiten:

Eigentlich ist nun das Lösen einer quadratischen Gleichung ganz einfach. Nebenan siehst du ein Beispiel:

ax(ax+7)-5(ax+3)=0;

Schreibe die Gleichung, die du lösen sollst, genau in der Reihenfolge, wie die allgemeine Gleichung in der ersten Zeile. Im Beispiel machst du das durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen.

a²x² + 7ax - 5ax - 15 = 0;

a²x² + 2ax - 15 = 0;

Jetzt muss man diese Gleichung mit der in der ersten Zeile vergleichen, um herauszufinden, was man für a, b und c in die Lösungsformel einsetzen muss. Dabei darf man sich aber nicht durcheinanderbringen lassen mit den Parametern, die in der "richtigen" Gleichung vorkommen.  
Gleichung für Lösungsformel:

a

+

b

x +

c

= 0;
"Richtige" Gleichung:

+

2a

x +

(-15)

= 0;
Jetzt macht man einen Koeffizientenvergleich, d.h. man schaut, was in der oberen und in der unteren Gleichung beim x² steht (1. grüne Spalte), was beim x steht (2. grüne Spalte) und was weder x noch x² hat (3. grüne Spalte).

a = a²


b = 
2a


c = 
- 15
Jetzt setzt man diese Werte in die Lösungsformel ein.

Das Ausrechnen dürfte dann wieder leichter sein.

x1 = 3/a  und x2 = - 5/a

von Heike Gierisch