Letzte Änderung: 10.11.2002

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Lösung quadratischer Gleichungen

mit quadratischer Ergänzung



Hinführung zur Methode
Gegeben sei folgende Gleichung: 

(x - 1)2 = 9;

Da auf beiden Seiten Quadrate stehen, kann man diese auch weglassen. 
Man muss aber bedenken, dass sowohl 3*3=9 
als auch (-3)*(-3)=+9 gilt. 
Es gibt also zwei Lösungen. 

x - 1 = + 3;
und   x - 1 = -  3;

x1  = + 4;
x2  =  - 2;

Gegeben sei nun folgende Gleichung:

x2 - 2x = 8;

Hier steht nun rechts und links kein Quadrat mehr. 
Wenn es gelingt, diese Gleichung so umzuformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat steht, kann man die oben gezeigt Methode anwenden.
Überlegung: x2 - 2x ist kein vollständiges Quadrat. Was fehlt zu einer kompletten binomischen Formel?
x2 - 2x + 1 ist der gesuchte Term, 
denn x2 - 2x + 1= (x - 1)2.
Also muss man auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 1 addieren.

x2 - 2x + 1 = 8 + 1;

Zusammenfassen ergibt:

(x - 1)2 = 9;

Der Rest geht dann wie oben.
Vorgehen allgemein
Gegeben sei eine Gleichung der Form

x2 + ax = b;     **

wobei a und b reelle Zahlen sind (aber nicht 0).
Gesucht ist die notwendige "quadratische Ergänzung".
Wie findet man die?
Überlegung:
Binomische Formel: x2 + 2mx + m2 = (x + m)2, wobei m auch (wie a und b) eine reelle Zahl (aber nicht 0) ist.
Vergleicht man nun die linke Seite der gegebenen Gleichung (**) mit der linken Seite der binomischen Formel, so sieht man, dass ax dem "doppelten Produkt" 2mx entspricht. Zu ergänzen ist ein Term, der dem m in der binomischen Formel entspricht.



x2 + ax        = b

x2 + 2mx + m2 = (x + m)2
Rezept:
Man nehme die Zahl a, die beim x steht, teile sie durch 2 und quadriere sie, dann hat man die "quadratische Ergänzung".


(a/2)2

Addiere die "quadratische Ergänzung" auf beiden Seiten der Gleichung.´

x2 + ax + (a/2)2 = b + (a/2)2;

Schreibe die linke Seite um mit Hilfe der binomischen Formel um:

(x + a/2)2 = b + (a/2)2;


Es ergeben sich für die Lösungen:
Achtung! b + (a/2)2 muss positiv sein, denn links steht ja ein Quadrat.

oder nach x aufgelöst:

von Heike Gierisch